Franklin's Notes


Frontera

En un espacio topológico $(X,\mathcal T)$ con un conjunto dado $A\subset X$ se puede definir la frontera $\partial A$ en cualquiera de las maneras equivalentes en términos del interior y del cierre y $A$:

1. $\partial A = \overline{A}\cap \overline{A^c}$
2. $\partial A = \bar A \backslash A^\circ$
3. $\partial A$ consta de los puntos de $X$ cada uno de cuyos entornos llevan tanto puntos de $A$ como puntos de $A^c$ (la definición más intuitiva)

Un hecho interesante es que $\partial\partial A$ a veces no es el mismo conjunto que $\partial A$, pero $\partial\partial\partial A=\partial\partial A$. Por ejemplo en $\mathbb R$ con la topología usual, calculamos $\partial\mathbb Q = \mathbb R$ y $\partial R = \varnothing$ así que $\partial\partial\mathbb Q\ne\partial\mathbb Q$. Pero nota que $\partial A$ siempre es un conjunto cerrado y el cierre de un cerrado siempre iguala él mismo, así que Ahora fíjate que puesto que $\mathtt{int}$ es un operador creciente, y entonces así que $\partial^3 A = \partial^2 A$ siempre, o sea $\partial^3 = \partial^2$ como operadores en $\mathcal PX$.


Otra identidad interesante que se puede demostrar es que para cada $A\subset X$. Esta identidad me interesa porque a mi parecer el operador $A\mapsto \partial A^\circ$ corresponde mejor a nuestra intuición de qué es "la frontera" de un conjunto geométricamente. En particular tengo la intuición de que una "frontera" debe queda entre dos "regiones" y debe ser "ancho" de alguna manera. Esta identidad formaliza esta intuición y el sentido exacto en que $\partial A^\circ$ es "ancho" es que su interior es vacío.

topology

interior-closure

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