Franklin's Notes


Interior y cierre

Dado un espacio topológico $(X,\mathcal T)$ y un subconjunto $A\subset X$ se define su interior $A^\circ$ como el conjunto de puntos $x\in X$ tal que $A$ es entorno de $x$, o sea que $A$ lleva un abierto que contiene a $x$. Por otro lado se define el cierre $\bar A$ como el conjunto de puntos $x\in X$ tal que no existe abierto que "separa" $x$ de $A$, o sea que cada entorno de $x$ tiene intersección con $A$ no vacío. Se puede demostrar fácilmente que o sea, $A^\circ$ es el "abierto más grande" contenido en $A$ y $\bar A$ es el "cerrado más chico" que lleva a $A$. Entonces podemos demostrar que $A^{\circ c} = \overline{A^c}$ si $-^c$ representa la operación del complementario (con respeto a $X$).


Déjanos también representar las operaciones de interior y cierre como operadores prefijos $\mathtt{int}(A)$ y $\mathtt{cier}(A)$ respectivamente. Sucede que estos operatores tienen propiedades algebráicas muy interesantes. Por ejemplo ambos son idempotentes, es decir que el interior del interior siempre iguala el interior (porque el interior de un conjunto es siempre abierto y el interior de un abierto es él mismo) y el cierre del cierre iguala el cierre (porque el cierre es siempre cerrado y el cierre de un cerrado es él mismo). Entonces Dado dos operadores $\mathtt{op1},\mathtt{op2}:\mathcal P X\to\mathcal P X$ déjanos decir que $\mathtt{op1}\leq\mathtt{op2}$ si $\mathtt{op1}(A)\subset \mathtt{op2}(A)$ para cada $A\subset X$. Entonces tenemos también podemos deducir que $\mathtt{int}$ y $\mathtt{cier}$ son operadores crecientes, o sea Con esa información podemos deducir que los operadores $\mathtt{int}$ y $\mathtt{cier}$ generan un monoide ordenado dentro del monoide de operadores en $\mathcal P X$. Aún más interesante es el hecho de que este monoide nunca posee más de $9$ elementos distintos (el número exacto depende del espacio $X$). Para demostrar este hecho asombroso empezamos con la desigualdad Si por todos lados multiplicamos $\mathtt{int}\cdot\mathtt{cier}$ por la izquierda y $\mathtt{int}$ por la derecha y utilizamos la propiedad de idempotencia llegamos a la desigualdad o sea Semejantemente se puede demostrar la igualdad Por eso sabemos que todas operadores generados por $\mathtt{int}$ y $\mathtt{cier}$ igualan uno de los siguientes:
1. $\mathtt{id}$
2. $\mathtt{int}$
3. $\mathtt{cier}$
4. $\mathtt{int}\cdot\mathtt{cier}$
5. $\mathtt{cier}\cdot\mathtt{int}$
6. $\mathtt{int}\cdot\mathtt{cier}\cdot\mathtt{int}$
7. $\mathtt{cier}\cdot\mathtt{int}\cdot\mathtt{cier}$
8. $\mathtt{int}\cdot\mathtt{cier}\cdot\mathtt{int}\cdot\mathtt{cier}$
9. $\mathtt{cier}\cdot\mathtt{int}\cdot\mathtt{cier}\cdot\mathtt{int}$

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