Polynomvernichtenden Funktionen und Folgen

In diesem Blogeintrag wollte ich einfach ein Ergebnis von der Realanalyse mitteilen, die ich für sehr unintuitiv halte. Es lautet, dass es Funktionen $f:\mathbb R^+\to\mathbb R$ gibt, die alle Polynomfunktionen vernichten, also orthogonal zu jeder Polynomfunktion sind, bezüglich des $L^2$-Skalarprodukt. Das heißt, es gibt Funktionen $f:\mathbb R^+\to\mathbb R$, für die gilt $$\int_0^\infty f(x) \cdot P(x) ~ dx = 0$$ für jedes Polynom $P$. Anders gesagt gilt folgendes für alle $k\in\mathbb N$: $$\int_0^\infty f(x)\cdot x^k ~ dx = 0$$ Überraschenderweise ist es ziemlich einfach, die Formel einer bestimmten Elementarfunktion vorzulegen, die diese seltsame Eigenschaft erfüllen. Die folgende Integralformel gilt für alle $\alpha\in\mathbb C$ bei denen $\text{Re}(\alpha) > 0$: $$g_n(\alpha) = \int_0^\infty x^n e^{-\alpha x} ~ dx = \frac{n!}{\alpha^{n+1}}$$ Wenn man $\alpha$ die Werte von komplexen Einheitswurzeln annehmen lässt, dabei stellt sich heraus, dass besondere Linearkombinationen von verschiedenen Werten von $f_n(\alpha)$ den Wert Null annehmen für alle $n$ die einer bestimmten Teilfolge von $\mathbb N$ gehören. Zum Beispiel, jede vierte Wert von $\zeta_8^n + \zeta_8^{-n}$ ist Null, weil $\zeta_8^{8n+2}=+i$ und $\zeta_8^{-(8n+2)}= -i$. Deshalb gilt $$\frac{g_{4n+1}(\zeta_8) + g_{4n+1}(\zeta_8^{-1})}{2} = \int_0^\infty x^{4n+1} e^{-x/\sqrt{2}}\cos\big(x/\sqrt{2}\big) ~ dx = 0$$ Nach einem zusätzlichen Ersatz in diesem Integral, ergibt sich, dass $$\int_0^\infty \frac{e^{-\sqrt[4]{x}}\cos(\sqrt[4]{x})}{\sqrt x}\cdot x^k ~ dx = 0$$ Die gleiche Methode bringt noch weitere Beispielfunktionen hervor:

$$\begin{align*} f(x) &= \frac{e^{-\sqrt{3} \sqrt[6]{x}}\cos(\sqrt[6]{x})}{\sqrt{x}} \\ f(x) &= \frac{e^{-(\sqrt{2}-1) \sqrt[8]{x}}\cos(\sqrt[8]{x})}{\sqrt{x}} \\ f(x) &= \frac{e^{-(2-\sqrt{3}) \sqrt[12]{x}}\cos(\sqrt[12]{x})}{\sqrt{x}} \\ \end{align*}$$

Natürlich erfüllen auch lineare Kombinationen von diesen Funktionen die gleiche seltsame Eigenschaft; das heißt, die Menge von allen integrierbaren Funktionen $f:\mathbb R^+\to\mathbb R$, die orthogonal zu jedem Polynom sind, ist ein Vektorraum. Es ist nämlich der Nullraum des Operators $$f ~ \mapsto ~ \bigg\langle\int_{0}^\infty f(x) \cdot x^k ~ dx\bigg\rangle_{k\in\mathbb N}$$ Die Existenz solcher Beispielfunktionen ist sogar überraschender, in Anbetracht der Tatsache, dass es keine derartige Funktionen im Vektorraum von integrierbaren Funktionen auf dem Interval $[0,1]$ anstatt $[0,\infty)$, dessen Nichtexistenz eine Konzequenz des Satzes von Stone-Weierstrass ist. Wenn eine Funktion $f:[0,1]\to\mathbb R$ orthogonal zu jedem Polynom auf dem Interval $[0,1]$ wäre, dann wäre auch $\langle f, P\rangle =0$ für jedes Polynom $P$, weshalb es im Widerspruch zum Satz von Stone-Weierstrass unmöglich wäre, $f$ durch Polynomfunktionen zu approximieren.

Diesem Resultat entspricht auch ein diskretes Gegenstück. Es existieren auch unendlichen Folgen $(a_n)$ von Realzahlen, die ally Polynomfolgen $(n^k)$ vernichten bezüglich des $\ell^2$-Skalarproduktes, damit folgendes gilt für jede $k\in\mathbb N$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cdot n^k = 0$$

Diese Folgen bilden auch einen Vektorraum, der der Kernraum von einer unendlichen Vandermonde-Matrix sind, was sogar erstaunlicher ist, weil alle endliche Vandermonde-Teilmatrizen von dieser Matrix voller Rang sind, also einen nulldimensionale Kernraum besitzen:

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & \cdots \\ 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\ 1 & 2^2 & 3^2 & 4^2 & \cdots \\ 1 & 2^3 & 3^3 & 4^3 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ \cdots\end{bmatrix} = \mathbf{0}$$

Es ist schwerer, die Existenz solcher Folgen zu beweisen, doch man kann sich die früher erwähnte polynomvernichtende Funktionen $f:\mathbb R^+\to\mathbb R$ zunutze machen, um Beispielfolgen zu produzieren. Sei $f$ eine bestimmte polynomvernichtende Funktion $f:\mathbb R^+\to\mathbb R$ und sei bestimmt eine komplexe Funktion $\phi_f$ durch die folgende Formel, wo $z\in \mathbb C$ die Ungleichung $\text{Re}(z) < 1$ erfüllt:

$$\phi_f(z) := \int_0^\infty f(x) \cdot e^{-x(1-z)} ~ dx$$

Diese Formel definiert eine analytische Funktion $\phi_f$ in der ganzen Kreisscheibe $|z| < 1$, weshalb folgt es, dass $\phi_f$ eine konvergente Potenzreihe innerhalb dieser Kreisscheibe besitzt:

$$\phi_f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\phi_f^{(n)}(0)}{n!}\cdot z^n$$

Durch die Formel, damit $\phi_f$ definiert wurde, kann man beweisen, dass sich sowohl $\phi_f$ als auch alle ihrer Ableitungen $\phi_f^{(k)}$ dem Nullwert annähern als $z\to 1$:

$$\lim_{z\to 1}\phi_f^{(k)}(z) = k!\int_0^\infty f(x)\cdot x^k ~ dx = 0$$

Das ist selbst zwar ein ziemlich ungewöhnliches Grenzverhalten von einer analytischen Funktion, doch darüber hinaus kann man daraus folgern, dass die Koeffizientenfolge $a_n = \phi_f^{(n)}(0)/n!$ zu jedem Polynom orthogonal ist, denn

$$\lim_{z\to 1}\phi_f^{(k)}(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot n(n-1)\cdots (n-k+1) = 0$$

und jene Familie von Polynomen $n(n-1)\cdots (n-k+1)$ spannt den ganzen Vektorraum von Polynomfunktionen auf. Deshalb ergibt sich die folgende Formel für eine Beispielsfolge $(a_n)$ mit der Eigenart, für die wir uns interessieren:

$$a_n := \frac{1}{n!}\int_0^\infty f(x) \cdot x^n e^{-x} ~ dx$$

Soweit ich weiß gibt es keine schöne analytisch geschlossene Formel für eine zu jedem Polynom orthogonale Folge $(a_n)$. Die Thue-Morse Folge bekommt doch eine "ehrenvolle Erwähnung": obwohl die unendliche Summe von $\sigma(n)\cdot n^k$ gar nicht konvergent ist, trifft ihre Folgen von Partialsummen den Nullwert unendlich oft. Insbesondere gilt $$\sum_{n=1}^{m\cdot 2^{k+1}} \sigma(n)\cdot n^k = 0$$ für jede $m,k\in\mathbb N$, der an und für sich auch eine sehr sonderbare eigenschaft ist!