La recta de Sorgenfrey es un espacio topológico $(\mathbb R,\mathcal T_\text{S})$ que se define por la base siguiente: es decir, los abiertos de esta topología son uniones arbitrarias de intervalos semiabiertos de la forma $[a,b)$. Esta topología es estríctamente más fina que la euclídea, o sea $\mathcal T_\text{euc} < \mathcal T_\text{S}$, porque todos los elementos de la base usual de $\mathcal T_\text{euc}$ se puede expresar como unión de los elementos de la base $\mathcal B_\text{S}$ así: así que, como todo abierto de $\mathcal T_\text{euc}$ es unión de intervalos abiertos de la forma $(a,b)$ y todo intervalo abierto de esa forma es unión de abierto básico de la topología de Sorgenfrey, deducimos que todo abierto de $\mathcal T_\text{euc}$ es abierto de $\mathcal T_\text{S}$. Pero por otro lado, queda claro que la topología de Sorgenfrey contiene abiertos que la euclídea no, por ejemplo $[0,1)$.
Otra propiedad interesante de la recta de Sorgenfrey es que no satisface IIAN . Que $\mathcal B$ sea base de $\mathcal T_\text{S}$, entonces cada abierto de $\mathcal T_\text{S}$ contiene un elemento de la base alrededor de cada uno de sus puntos (por la definición de una base). En particular, cada intervalo de la forma $[x,x+1)$ contiene un abierto básico $[x,x+1)\supset B_x\in\mathcal B'$ tal que $x\in B_x$. Si consideramos el orden usual $(\mathbb R,\leq)$ en los números reales vemos que $x$ tiene que ser el elemento mínimo de $B_x$ debido a que es elemento mínimo de $[x,x+1)\supset B_x$. Pero $(\mathbb R,\leq)$ es un orden total, así que un subconjunto no puede tener dos elementos mínimos distintos, así que $x\ne y\implies B_x\ne B_y$ y entonces la aplicación $x\mapsto B_x$ es una inyección $\mathbb R\to \mathcal B$, la cual indica que $|\mathcal B|\geq |\mathbb R|$. Entonces $\mathcal B$ no puede ser numerable, como aseveramos al principio.
Aunque la recta de Sorgenfrey no cumpla el IIAN, sí cumple el IAN . Al punto $x\in \mathbb R$ le corresponde la base de entornos numerable: