Como el segundo axioma de numerabilidad se trata de la cardinalidad de los bases de un espacio topológico $(X,\mathcal T)$, el primer axioma de numerabilidad o sea el IAN se trata de las cardinalidades de los bases de entornos. Este criterio dice que a cada punto $x\in X$ le corresponde un base de entornos numerable.
Fíjate que el IAN no implica el IIAN. La recta de Sorgenfrey constituye un contraejemplo puesto que satisface el IAN pero no el IIAN.