El verano pasado fui aconsejador del programa PROMYS al cual tuve la oportunidad de asistir como estudiante de la secundaria. De hecho este verano fue la primera vez desde hace 2 años que PROMYS se lleva a cabo de forma presencial (por culpa de la pandemia) y como esperaba me resultó una experiencia maravillosa. En esta entrada no me pongo a describir sólo unos aspectos de mis actividades allí sino también compararlas con otra tarea de índole pedagógico de la que me he encargado. Este será mi tercer semestre como calificador y ayudante para MATH 375 que es un curso de computación numérica de UNM (actualmente hago un año en extranjero desde España y cumplo mis deberes a distancia desde aquí). Claro que mis habilidades pedagógicas han desarrollado mucho a causa de mi papel como docente en los dos ambientes muy distintos y ahora quiero explicar algunos principios de docencia que se me han surgido a causa de esas experiencias.
Ante todo hay varias diferencias muy significantes entre la materia de PROMYS y la de MATH 375. El lema central de PROMYS que suelen repetir los profes se llama: "pensar profundamente en cosas sencillas". Se trata todo de la teoría de números que debe ser el campo de las matemáticas más accesible - sólo hay que saber calcular con números enteros y fracciones para explorar los problemas planteados. Aunque todos los alumnos vienen de la secundaria (y todos también muy sobresalientes) realmente no es necesario haber superado ninguna parte del currículo escolar excepto la aritmética básica. A pesar de eso los problemas son realmente duros. Una característica muy única de la teoría de números es que se topa uno muy frecuentemente con un problema que parece muy sencillo pero que simplemente no se rinde cuando se pone a solucionarlo.
El currículo de MATH 375 no es así. Como se trata mayormente de analizar funciones numéricas y cómo se propagan los errores, casi todas las técnicas que aparecen se basan en el cálculo. Además rebosa de terminología y los problemas de la computación numérica parecen bastante artificiales y aún a veces imprecisos. Por ejemplo, al pedir una "buena aproximación" o un "algoritmo eficiente" muchas veces no se explica qué exactamente quiere decir "buena" o "eficiente" (hecho que produce mucho estrés y mucha confusión en los alumnos de esta clase). Resolver un problema de la teoría de números produce el sentido de haber descubierto algo sobre el índole esencial de los números mientras que resolver un problema del análisis numérico se hace a un alumno preguntarse "¿basta ya? ¿es eso todo lo que querían de mí?
Tal vez te parece esta descripción bastante negativa. Bueno, tengo varias quejas acerca de la forma de enseñar MATH 375 pero realmente me encanta el análisis tanto como la teoría de números. Aunque los ejercicios que presentan en las tareas suelen ser rebuscados no me parece necesario enseñar el análisis numérico así. De hecho se lo podría presentar como un campo tan básico como la teoría de números en el sentido de que se trata de cómo calculan nuestros ordenadores.
Aunque PROMYS pone mucho énfasis en las demostraciones y el rigor también se valora mucho la experimentación. En cada tarea hay varios ejercicios que consisten en pura computación (como calcular una table de logaritmos módulo algún $m$ o encontrar una solución entera de una ecuación como $34x+81y=1$) y de hecho los aconsejadores solemos decirles a nuestros estudiantes que si no tienen bastante tiempo para resolver todos problemas de la tarea deben priorizar los problemas numéricos, que esos son esenciales para desarrollar la intuición y reconocer patrones en los que se basan las conjeturas. En la computación numérica también hay mucha posibilidad de experimentar y descubrir patrones y rarezas. Por ejemplo hay un ejemplo muy sencillo que suelo usar como exhibición del error de coma flotante para mis alumnos de 375: si abres tu consola de Python y introduces las expresiones 1+2**-53 + 2**-54 y 1+(2**-53 + 2**-54) recibirás el resultado siguiente:
>>> 1+2**-53 + 2**-54
1.0
>>> 1+(2**-53 + 2**-54)
1.0000000000000002
Que raro, ¿no? El resultado de la computación depende de dónde colocas los paréntesis! A diferencia de los ejercicios enrevesados este ejemplo suele provocar curiosidad en los alumnos porque tiene resultado muy inesperado a pesar de parecer sencillo. Al lograr entender este ejemplo ya estarán en camino al entendimiento de fenómenos más complejos.
Un problema universal que existe tanto en PROMYS como en MATH 375 es lo de la inseguridad de los estudiantes acerca de sus habilidades matemáticas. Entre los estudiantes universitarios por lo general hay bastante angustia y fatalismo frente a las matemáticas y suelen decir cosas como "yo nunca he salido muy bien en las matemáticas" o "no entiendo nada de mis clases de mates". La ironía es que un fenómeno parecido existe entre los alumnos de PROMYS aunque ellos son algunos de los más destacados del mundo. Claro, no es exactamente así - pocos sufren del espejismo de que no sepan nada - pero a veces se comparan a sus pares más que lo saludable y cuando uno se encuentra rodeado por estudiantes extremadamente talentosos es fácil minimizar las habilidades propias.
Claro que no lograré identificar la fuente única de este fenómeno complejo pero sospecho que uno de sus rasgos es algo que yo llamo "la cinta de aprendizaje". Es que después de que un estudiante lucha para aprender algo y por fin llega a entenderlo de la cabeza a los pies (o logra "verlo de un vistazo" como dirían los de PROMYS) empieza a olvidar todo el esfuerzo que le había costado y eventualmente le parece trivial o obvio. Por eso empieza a creer que no haya aprendido nada que no sea obvio. Pero se olvida que lo que le parece actualmente trivial no lo es para muchos otros ni lo era para su ser del pasado que ya se le había empezado a escapar de la memoria. Puesto que el alumno que anda aprendiendo queda siempre en la frontera entre lo que sabe y lo que no, siempre le parece que no entienda nada que no sea trivial.
Yo mismo he luchado con esa carga emocional como estudiante de la secundaria. Veía muchas fórmulas sorprendentes y milagrosas en Math Stack Exchange cuyas soluciones no lograba entender porque se basaban en la teoría de curvas o funciones elípticas o el análisis complejo, todo lo que me parecía muy inaccessible. No me di cuenta de cuánto aprendí del cálculo durante ese proceso frustrante aún antes de matricularme en un clase de cálculo. Hoy día tampoco me siento satisfecho con lo que he aprendido - por eso sigo aprendiendo - pero ni me preocupo tanto ni me doy prisa, ya que sé que a pesar de todo lo que he aprendido siempre habrán migas deliciosas de entendimiento que quedan justo fuera de mi alcance. Lo siento tanto ahora como en la secundaria aunque he aprendido muchísimo desde entonces. Así es la cinta.
Tener ese fenómeno en mente le ayuda mucho a un estudiante a seguir aprendiendo sin desalentarse pero en mi opinión es esencial que un profe lo reconozca. Cuando un profe se refiere a algún hecho matemático como "obvio" o dice algo como "claro que todos vosotros ya entendáis eso" corre el riesgo de herir el autoestima de sus estudiantes. Si algún alumno realmente no entiende bien lo a que se refiere el profe, es probable que no vaya a pedirle que lo repase si queda etiquetado como "obvio". Nadie quiere ser él que pone "preguntas estúpidas". Pero si no lo pone, no llegará a entender la cosa que no entiende no logrará comprender todo lo que se basa en ella. A mi parecer no basta ser buen matemático para ser buen profe de mates, sino también hay que jugar al psicólogo un poco.
Como era tan intensivo el programa de PROMYS tenía bastante tiempo para ayudarles a mis alumnos a superar su timidez. Al sentarme a hablar con ellos solía decir cosas tontas que a ellos les parecían "preguntas estúpidas" para hacerles corregirme. (Para ser honesto disfrutaba un tanto también de sus reacciones escandalizadas.) Así rompí el tabú para que ellos se sentían bastante cómodos para expresar cualquiera idea que se les pasó por la mente sin preocuparse de si me parecía necio a mí. Con mis alumnos de 375 no tengo la libertad ni el tiempo de realizar una formación tan comprensiva a largo plazo, así que sólo hago lo que puedo para hacerles sentir cómodos a hablar de cualquier tema sobre el cual tienen dudas. Evito los juicios de valor como "obvio" o "fácil" y me presento de la forma menos intimidatoria que puedo.
Ni quiero decir que sea una gran carga volver a explicarles a mis alumnos cosas que "ya entiendo". Muchas veces el desafío de meterme en la mente de alguien que todavía no posee buen manejo de un concepto me revela otra manera de entenderlo que no anticipaba, que lo fortalece aún más en mi mente. Yo diría que he ganado muchísimo de ese ejercicio mental tanto en PROMYS con la teoría de números que en MATH 375 con el cálculo y el análisis numérico.
En pocas palabras, lo que considero mi deber como docente y calificador es evaluar la calidad de la escritura matemática que los alumnos entregan y ayudarles a entender la materia cuando me lo piden. No soy sus profe ni sus amigo ni sus enemigo contra el cual tienen que luchar para una buena nota. Sólo hay que determinar si tiene sentido lo que han escrito por la tarea y darles los puntos o no, y tal vez explicar el error si lo hay. Debe ser bastante sencillo.
Sin embargo me cuesta mucho ser calificador. Hay cierto mito que existe en la universidad tanto como en la sociedad por lo general que si uno se empeña duramente en su trabajo o en sus estudios hay que tener éxito. Por eso a veces los profes califican el trabajo de sus alumnos como si la nota no fuera una medida de su competencia sino de su esfuerzo. Con esto no estoy de acuerdo. En primer lugar no es lo que pretende medir una nota académica a mi parecer. Además de eso calificar el trabajo de los alumnos así invita la intromisión de sesgos. ¿Quién soy yo para averiguar cuánto se esforzaban los alumnos en sus estudios? ¿Cómo cuantificar esto? Sé que es imposible librarse totalmente del sesgo y nunca aseveraría yo haberlo logrado pero diría que evaluar la validez de una explicación matemática es una ciencia más precisa que adivinar el esfuerzo que uno invirtió para escribirla.
Claro que no es justo que algunos alumnos logran tener éxito gastando mucho menos energía que otros pero no me encargo de eso. Ni es justo que algunos podrían perder su beca si no sacan buena nota, ni que algunos trabajan o son padres fuera de la escuela y por eso no tienen tanto tiempo libre que invertir que otros. No soy cualificado para evaluar la justicia, pero las matemáticas tal vez sí. No obstante me duele el corazón cuando un alumno que parece haberse empeñado mucho saca mala nota. Si un alumno disputa su nota debido a circunstancias personales no me hago cargo yo de evaluar su queja sino lo remito al profe para que el/ella lo hace.
Aún así hay casos en los cuales me parece que sí se entra la ética en la calificación. Por ejemplo si un problema de la tarea está escrito de manera confusa y un alumno malentiende lo que le pide resolver, ¿debo quitarle puntos? ¿Qué tal si contestó la pregunta equivocada pero de manera que demuestra buen manejo de la materia? Y ¿qué tal si malentiende la pregunta de manera que trivializa el problema por completo para que ni siquiera requiere razonamiento significante para resolver? A veces hay que tomar una decisión a conciencia y no lo puedo evitar.
Además hay varios estudiantes en cada clase de 375 que entregan cada tarea sólo unos minutos antes de la fecha límite y queda claro que su trabajo era apurado y descuidado. Otros estudiantes demuestran equivocaciones graves en la tarea y sacan notas muy bajas y sin embargo nunca se ponen en contacto conmigo para pedir ayuda ni muestran ninguna señal de haber leído la retroalimentación que dejé en sus tareas previas. ¿Qué es mi deber a estos alumnos? ¿Les debo algo aún? No me dedico a ser padre ni aconsejador así que realmente no forma parte de mi trabajo motivarles a ser estudiantes responsables o a pedir ayuda cuando lo necesitan. Sin embargo no puedo escapar el sentimiento de que hay algo podrido en esa situación que podría mejorar sólo si me hiciera aún más disponible yo para recibir preguntas o si les impulsara un poquito más a contactarme. Pero al fin y al cabo sólo puedo ayudarles a los estudiantes que me lo piden.
Ese aspecto de mi trabajo en PROMYS era muy distinto. Como son los alumnos de PROMYS estudiantes de la secundaria que todavía no son adultos nos encargamos de su seguridad además de su aprendizaje. Los jóvenes de PROMYS tienen bastante libertad durante el programa y como son adolescentes a veces no se comportan de manera muy madura, así que les ayudamos a ser no sólo matemáticos excelentes sino también adultos. En el ambiente de PROMYS me sentiría mucho más cómodo a ofrecerles a los estudiantes consejos acerca del manejo de tiempo y tales cosas.
Bueno, eso es más o menos mi apología como calificador. A veces me agotan mucho esas preocupaciones.
Pues me voy aprendiendo cómo ser buen docente, trabajo que me resulta difícil pero al mismo tiempo muy provechoso. Hasta ahora los principios que trato de cumplir son los que siguen:
También me gustaría compartir algunos apuntes que he preparado para mis alumnos de MATH 375 y de PROMYS. En PROMYS ofrecía varios "minicursos" sobre temas acerca de la lógica y la teoría de conjuntos además de la docencia de la teoría de números y escribí apuntes para resumir el contenido de esos seminarios. Me alegró muchísimo que a varios estudiantes les han interesado esos temas. Además escribo apuntes para mis alumnos de 375 de vez en cuando si hay algún tema que muchos quieren repasar. Aquí están algunos apuntes:
Una cosita más. Después de asistir a PROMYS como estudiante de la secundaria escribí una entrada de blog sobre mi experiencia, la cual empieza con una súplica enfática "que no sacrifique la salud ni la calidad de vida (para las matemáticas)". Y bueno, es verdad que uno debe mantener el equilibrio entre la vida académica y la vida real como escribió el Franklin del pasado... pero me pregunto si sabía él qué es realmente "la vida real". Me parece esa entrada la escritura de un ingenuo. (De hecho, me pregunto si conozco "la vida real" ahora mismo. Y probablemente lo que escribo hoy le parecerá ingenuo al yo del futuro.) Tal vez no trasnochaba él porque no había con quien le gustaba tanto trasnochar. Pero sobre todo creo que lo importante es reflexionar sobre las acciones aún si no resultan ser las más saludables.